Решение систем линейных уравнений Дана система линейных уравнений с неизвестными: где - коэффициенты, стоящие перед неизвестными; - свободные члены системы ( ). Рассмотрим решение системы уравнений тремя способами: по формулам Крамера, матричным способом и методом исключения неизвестных – методом Гаусса. Формулы Крамера. Определитель, элементами которого являются коэффициенты, стоящие перед неизвестными, называется определителем системы: Вспомогательные определители:, составляются путем замены в определителе системы соответствующего столбца столбцом, состоящим из свободных членов: Решение системы уравнений находится по формулам Крамера:, Если определитель системы, то система имеет единственное решение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместная система уравнений, имеющая единственное решение, называется определенной.

Пошаговое нахождение определителя. Программа вычисляет определитель матрицы. Программа,вычисляющая определитель n порядка C++ решение ответ. Написал программу, которая должна считать. Nov 23, 2012 - Что это такое и как его считать, мы разберем в сегодняшнем уроке. Мол, этого нет в школьной программе, пошлите их читать учебник. Уравнение плоскости легко считается через определитель. Что это такое и как его считать.

Если определитель системы и все вспомогательные определители, также равны нулю, то такая система является совместной и имеет бесконечно много решений. Совместная система, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Если определитель системы, но хотя бы один из вспомогательных определителей, отличен от нуля, то такая система не имеет решений. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Решить систему уравнений: Решение.

Вычислим определитель системы уравнений: Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Вычислим вспомогательные определители: По формулам Крамера находим решение системы: Матричный способ. Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, т. Матрица называется матрицей системы, а матрица-столбец, составленная из величин называется столбцом свободных членов. Составим еще матрицу-столбец неизвестных: Тогда система уравнений в матричной форме примет вид: Если то получим решение матричного уравнения: На данной формуле и основан матричный способ решения систем линейных уравнений.

Решить матричным способом систему уравнений: Решение. Для данной системы Матрица, обратная к матрице, имеет вид: Подставляя в формулу для решения матричного уравнения, имеем: Таким образом, Метод исключения неизвестных – метод Гаусса. Рассмотрим систему m – линейных уравнений с n – неизвестными: Суть метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к равносильной матрице ступенчатого вида. Reflexive universal patch. Это и есть прямой ход метода Гаусса. На основании полученной ступенчатой матрицы составляется новая система уравнений, равносильная исходной, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, находятся все неизвестные; это суть обратного хода метода Гаусса.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид: где – числа, отличные от нуля. Элементарные преобразования матрицы: 1) отбрасывание строки, в которой все элементы равны нулю; 2) умножение всех элементов строки матрицы на число, не равное нулю; 3) изменение порядка строк матрицы; 4) прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на любое число. Методом Гаусса решить систему уравнений: Решение. Расширенная матрица системы имеет вид: вычитая из элементов 3-й строки элементы 1-й, а из элементов 2-й строки элементы 1-й, умноженные на два, получим: Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й, умноженные на семь, и поменяем местами 2-ю и 3-ю строки: Запишем систему уравнений с новыми коэффициентами: Применим обратный ход метода Гаусса: Решение системы: Решить следующие системы уравнений: 3.1. Размерность и базис векторного пространства n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде, где – i-я компонента вектора x. Векторным пространством Rназывается множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: где – действительные числа. Векторы векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство: В противном случае векторы называются линейно независимыми. Являются ли векторы линейно зависимыми. Составим векторное равенство: Запишем в виде вектор-столбцов: Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений: Преобразуем систему методом Гаусса:.

Если C – произвольное число. Пусть C=1, тогда: следовательно, эти векторы – линейно зависимые. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а любые из ( n+1) векторов уже являются зависимыми. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом. Равенство где – векторы базиса n-мерного пространства R, – не равные одновременно нулю числа, называется разложением вектора xпо базису, а числа – координаты вектора x относительно этого базиса. В базисе заданы векторы. Показать, что векторы образуют базис.

Векторы должны быть линейно независимыми. Составим векторное равенство: Решим систему уравнений:, следовательно, – единственное нулевое решение.

Таким образом, векторы образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис. Переход к новому базису В пространстве имеются два базиса: старый – и новый –. Векторы нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса: Переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода:.

Коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы матрицы. Матрица A – неособенная. Обратный переход от нового базиса к старому осуществляется с помощью обратной матрицы. Зависимость между координатами вектора x относительно старого и нового базисов: В матричной форме:. Вектор, заданный в базисе, выразить в базисе. Связь между базисами: Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:. Вычислим обратную матрицу: D( A)=4;;.

Таким образом,. Новые координаты вектора в базисе.

Вектор b может быть представлен в виде:. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой. Выяснить, образуют ли векторы p, q, r базис. Если образуют, то разложить вектор x по этому базису. Вектор b, заданный в базисе e 1, e 2, e 3, выразить в базисе a 1, a 2, a 3.

Линейные операторы. Квадратичные формы Рассмотрим два линейных пространства: – размерности n и – размерности m.

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение), действующий из и, и записывают. Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства и любого числа выполняются соотношения: 1. – свойство аддитивности оператора; 2. – свойство однородности оператора.

Вектор называется образом вектора x, а сам вектор x – прообразом вектора y. Связь между векторами x и y представляется в следующем виде: Матрица называется матрицей оператора в базисе, а ранг матрицы A – рангом оператора. Связь между вектором x и его образом можно выразить в матричной форме уравнением:, где A – матрица линейного оператора, – матрицы-столбцы из координат векторов x и y. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей.

Найти образ вектора. По формуле, имеем, следовательно,. Матрицы A и одного и того же линейного оператора в разных базисах и связаны соотношением:, где С – матрица перехода от старого базиса к новому. В базисе оператор имеет матрицу. Найти матрицу оператора в базисе Решение. Матрица перехода, а обратная к ней матрица, следовательно, по формуле, получаем:.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора, если найдется такое число,. Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 2. Домашний очаг.:. История:. Окружающий мир:. Справочная информация.:.:.:.:.:. Техника.:.

Образование и наука:. Предметы:. Мир:.:. Бизнес и финансы:.:.:.